Если Ваша мать является собственником квартиры, то согласно п. 2 ст. 31 ЖК РФ члены семьи собственника жилого помещения имеют право пользования данным жилым помещением наравне с его собственником, если иное не установлено соглашением между собственником и членами его семьи. Члены семьи собственника жилого помещения обязаны использовать данное жилое помещение по назначению, обеспечивать его сохранность. При этом к членам семьи собственника жилого помещения относятся проживающие совместно с данным собственником в принадлежащем ему жилом помещении его супруг, а также дети и родители данного собственника. Другие родственники, нетрудоспособные иждивенцы и в исключительных случаях иные граждане могут быть признаны членами семьи собственника, если они вселены собственником в качестве членов своей семьи.

Дееспособные и ограниченные судом в дееспособности члены семьи собственника жилого помещения несут солидарную с собственником ответственность по обязательствам, вытекающим из пользования данным жилым помещением, если иное не установлено соглашением между собственником и членами его семьи.

Поскольку, исходя из Вашего сообщения, Вы (вместе с Вашими детьми) вселены и проживаете совместно с матерью, к тому же исполняете все обязательства по содержанию квартиры, то как член семьи имеете право там проживать и пользоваться данным жилым помещением.

Выселить Вас могут только в судебном порядке. В этом случае, если Ваша мать подаст в суд на признание Вас бывшим членом семьи и на выселение, то на основании п. 4 ст. 31 ЖК РФ при отсутствии у Вас основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда. В Вашем случае еще затрагиваются интересы несовершеннолетних, в связи с чем в случае возникновения судебного дела, судом будут учитываться и их интересы.

По вопросу о дееспособности, признать человеком недееспособным может только суд. В Вашем случае на основании ст. 30 ГК РФ Вы можете обратиться по вопросу ограничения дееспособности Вашей матери. Так, согласно п. 1 ст. 30 ГК РФ гражданин, который вследствие пристрастия к азартным играм, злоупотребления спиртными напитками или наркотическими средствами ставит свою семью в тяжелое материальное положение, может быть ограничен судом в дееспособности в порядке, установленном гражданским процессуальным законодательством. Над ним устанавливается попечительство.

В этом случае ограниченный в дееспособности гражданин вправе самостоятельно совершать мелкие бытовые сделки, другие же сделки он может совершать лишь с согласия попечителя. Однако такой гражданин самостоятельно несет имущественную ответственность по совершенным им сделкам и за причиненный им вред.